Sedikit Belajar Matematika (Dalil Pythagoras)

Thursday, March 10, 2011 · Posted in

Sudah lama absen dari matematika sejak 2 tahun lulus SMA 2005.  (berapa tahun ya...hehehehehe), akhirnya saya juga merindukan hal yang menarik dan adanya trik2. Pada postingan kali ini, kita akan membahas tentang dalil Phytagoras. Sebelumnya kita pernah membahas tentang dalil Phytagoras. Sebelumnya harus kita ketahuai apakah dalil Phytagoras itu??

Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: ) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa \sqrt{2}, hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan.(http://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa "Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus"
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:
Pythagorean.svg
Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu.
Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya.
Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2 + b2 = c2.
Pythagorean proof.png

Bukti menggunakan segitiga sama

Teorema.png
\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)
\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)
Dari gambar  c = d + e \,\! . Dan dengan mengganti persamaan (1) dan (2):
 c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}
Mengalikan untuk c:
 c^2 = a^2 + b^2 \,\!.

Masih ingat bunyi rumusnya? Yup! Tepat sekali. a2 + b2 = c2. Kali ini kita akan membahas beberapa contoh variasi soal yang berhubungan dengan rumus Phytagoras tersebut.

Contoh:

1. Jika alas sebuah segitiga 3 cm dan tingginya 4 cm, berapakah sisi miringnya?
Jawab:

Diketahui (diket):

a = 3
b = 4

Ditanya (dit):

c = ?

Penyelesaian (peny):

a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
c = √25
c = 5

Jadi, panjang sisi miringnya adalah 5 cm.

2. Sebuah persegi panjang dengan lebar 9 cm dan panjang 12 cm, maka berapa panjang diagonalnya?

Jawab:

Apabila persegi panjang tersebut dipotong pada diagonalnya, maka akan terbentuk dua buah segitiga siku-siku dengan alas (pada persegi panjang adalah panjang) 12 cm dan dengan tinggi (pada persegi panjang adalah lebar) 9 cm. Maka:

Diket:

a = 12
b = 9

Dit:

c = ?

Peny:

a2 + b2 = c2
122 + 92 = c2
144 + 81 = c2
225 = c2
c = √225
c = 15

Jadi panjang diagonal dari persegi panjang tersebut adalah 15 cm.
3. Ada sebuah segitiga sama kaki (bisa nggak gambar segitiga sama kaki? Kalo saya bisanya gambar segitiga sama tangan. Hehehe... Just kidding...) dengan tinggi 8 cm dan alasnya 12 cm. Berapakah panjang sisi miringnya (panjang kaki segitiganya)?

Jawab:
Apabila segitiga sama kaki tersebut dipotong pada tingginya, maka akan membentuk dua buah segitiga siku-siku dengan alas 6 cm dan tinggi 8 cm. Sehingga seperti ini.
Kalau sudah bergitu, maka:

Diket:

a = 6
b = 8

Dit:

c = ?

Peny:

a2 + b2 = c2
62 + 82 = c2
36 + 64 = c2
100 = c2
c = √100
c = 10

Jadi, panjang sisi miring segitiga sama kaki tersebut adalah 10 cm.

Sekian artikel di blog ini. Berkomentarlah untuk kemajuan blog ini. Akhir kata, semoga bermanfaat dan memberikan anda inspirasi.

Leave a Reply

kubuskecil. Powered by Blogger.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...